На главную
На главную На главную Написать письмо На главную Карта сайта
Градиент
« к списку статей

Развитие творчества на уроках математики


1. Психолого-педагогические аспекты
развития творческого мышления в основной школе

   Дать универсальную характеристику степени и направлений развития творческой деятельности, уровня ее сформированности представляется невозможным, но все же, можно упомянуть несколько возрастных особенностей ее развития. Согласно теории Ж. Пиаже, ребенок, возраст которого соответствует основной школе, находится сначала на уровне осуществления конкретных мыслительных операций (до 11-12 лет), затем - на уровне абстрактных операций (с 12 лет и далее). Более младшие дети мыслят предметно, и этим надо пользоваться при развитии их творчества. Например, в данном случае очень эффективны методы "вживания", метод образного и символического видения и метод сравнения, о которых еще пойдет речь в 2. В ходе курса математической логики был проведен тест, содержащий следующее задание: дана таблица из нескольких (в данном случае 9) клеток, в каждой из которых находится понятие, зафиксированное словесно, и оставлено пустое место для рисунка. Необходимо схематически изобразить это понятие. Исследование проводилось на группе в 21 человек: 10 учеников 6-го класса и 11-7-го. При этом брались классы одного и того же уровня успеваемости, одного и того же профиля. Результаты тестирования представлены на диаграмме. Тест подтверждает, что на рубеже этих двух возрастов происходит значительный скачок уровня развития абстрактного мышления, а так же создаются предпосылки для развития способности к творчеству.

 

Уровень развития абстрактного и творческого мышления в основной школе

   В то время, как в более старших классах (начиная с 7-го или 8-го) уже можно оперировать абстрактными понятиями, в младшей группе основной школы важна наглядность, которая потом поможет сделать переход к абстракциям. Например, рассматривая теоретико-множественные операции, мы иллюстрируем их конкретными примерами: рассматриваются не формальные множества, а множества предметов, которые встречаются в реальном мире. Таким образом, конструирование множеств, получаемых в результате теоретико-множественных операций, превращается в увлекательное занятие, легко усваивается и переводится на абстрактный уровень.

   Вывод: одна из основных целей в разработке курса, направленного на развитие творчества - научиться разумным образом сочетать формальные и конкретные объекты, разработать переходы от одних к другим и сформировать базу для творчества.

2. Пути и методы развития творчества на уроках математики

   В психолого-педагогической литературе встречается множество классификаций методов эвристического обучения, то есть обучения, направленного на развитие творческих способностей. Мы приводим наиболее полную из них, созданную А. В. Хуторским. Краткая схема методов выглядит следующим образом:

Методы эвристического обучения

Когнитивные методы

Креативные методы

Оргдеятельностные

Методы наук

Интуитивные методы

Методы учеников

Методы учебных предметов

Алгоритмические методы

Методы учителей

Метапредметные

Эвристики

Административные

   Классификация методов эвристического обучения в данном случае проводится аналогично классификации видов эвристической образовательной деятельности. Происходит их разделение на три основные группы: когнитивные, креативные и оргдеятельные.

   Когнитивные в свою очередь делятся на три вида.

  • Научные, или методы исследования в конкретном предмете, например, в математике, физике, географии, и др.
  • Методы учебных предметов. Эти методы имеют двоякую природу: с одной стороны, они взяты из наук, с другой - относятся к непосредственному освоению конкретных образовательных областей предметов. Это методы исследования фундаментальных образовательных объектов, методы сравнения образовательных продуктов учеников с культурно-историческими аналогами; традиционные методы исследования основных вопросов и тем учебных дисциплин.
  • Метапредметные методы - это особый вид методик эвристического обучения, представляющий собой метаспособы, соответствующие метасодержанию эвристического образования, т.е. те универсальные методы, которые заставляют учеников иметь дело с самыми различными объектами, изучаемыми множеством предметов. Например, метод познавательного видения смысла объекта - метаспособ, а такие объекты познания, как вещество, растение, звук - метапредметное содержание.

   Креативные методы обеспечивают ученикам возможность создания собственных образовательных продуктов, достижений.

  • Методы интуитивного типа (традиционно понимаемые эвристические методы) относятся к креативным методам. Примерами служат "мозговой штурм", метод эмпатии, педагогические методы ученика, находящегося в роди учителя и некоторые другие. Основная опора этих методов - нелогические действия ученика, действия, имеющие интуитивный характер.
  • Алгоритмический метод базируется на выполнении алгоритмических предписаний и инструкций: в частности, методы синтетики, морфологического ящика. Цель в данном случае - сделать логическую опору для создания учениками образовательной продукции. К примеру, в разработанном нами курсе одна из целей - дать ученикам основательную теоретическую базу, т.к. дальнейшее творчество в изучаемой области возможно только при ее наличии.
  • Эвристики - это приемы, позволяющие ученикам решать задачи "наведением" на возможные их решения и путем сокращения вариантов перебора таких решений. Об этом уже говорилось в начале работы: перед тем, как предоставить детям поле для творчества, необходимо в разумных пределах его сузить, чтобы их деятельность "не разбрасывалась" впустую, и в результате долгих безуспешных поисков не пропал интерес к предмету.

   Оргдеятельностные методы - это методы, рассчитанные на основных субъектов образования, то есть на учеников, учителей и управляющих образованием.

  • Методы учеников являются методами учебного целеполагания, планировки, контроля, рефлексии, и т.д. Данная методика нетрадиционна для школ, так как учителя довольно редко просят учеников самостоятельно поставить себе задачи, наметить пути их решения.
  • Методы управления образованием - это педагогические и административные методы организации образовательных процессов на соответствующем уровне. Можно отметить, что они во многом тождественны организационным методам учеников, поскольку применительно к учителю, отдельной школе или всей системе образования в эвристическом подходе применяются те же принципы, что и для обучения отдельных учеников. Эта группа методов используется и при создании и развитии эвристических процессов в масштабе преподавания отдельного учебного курса, группы курсов или своей школы.

   Перейдем от краткого знакомства с методами эвристического обучения к характеристике методов, входящих в перечисленные нами группы.

   I. Когнитивные методы

   Метод вживания опирается на эмпатию и представляет собой "вживание" в сущность другого объекта, не обязательно одушевленного. Это дает возможность вывести свойства исследуемого объекта, представить себе его суть и понять, почему именно он должен обладать теми или иными свойствами. При этом ученикам задаются следующие задания.

  • Повторите метод "вживания" применительно к другому объекту. Найдите слова, которые вы мысленно будете проговаривать, чтобы ощутить себя этим объектом.
  • В момент наилучшего "вживания" задайте вопросы как бы самому себе.
  • Выпишите главные результаты познания, полученного вами методом "вживания". Подумайте, благодаря чему они вам удались. Запомните свои действия и ощущения.

   Эффективность метода "вживания" обуславливается природными возможностями детей, которые в данном случае задействуются как нельзя более интенсивно. Действительно, дети младшего школьного возраста обладают способностью переживать наблюдаемое, окружающие объекты они познают чувственно, "очеловечивают" их.

   Метод образного видения, или эмоционально-образное исследование объекта. Видя объект, нарисовать, на что он похож, представить его образ. Наблюдая за объектом или явлением, ученик затем выражает результат своей деятельности), условились называть его образовательным продуктом) в образной форме.

   Метод символического видения основывается на том, что символ есть образ реальности, содержащий ее смысл, и он может выступать средством наблюдения и познания этой реальности. Задания могут носить следующий характер: описать и построить связи между объектом и его символом. После выяснения характера отношения символа и его объекта - пронаблюдать какой-нибудь объект с целью увидеть и изобразить его символ в графической, знаковой, словесной или иной форме.

   Метод эвристических вопросов (разработан древнеримским педагогом и оратором Квинтилианом). Заключается данный метод в том, чтобы отыскать сведения о каком-либо объекте, задавая семь ключевых вопросов: Кто? Что? Зачем? Где? Чем? Как? Когда? Можно рассматривать и парные сочетания вопросов, и при этом будут порождаться новые вопросы, например, как-когда? Ответы на вопросы и их разнообразные сочетания порождают необычные идеи и решения относительно исследуемого объекта.

   Метод сравнения предполагает сопоставление версий учеников между собой, а также с историческими аналогами - высказываниями великих ученых, исторических личностей. Ребенок имеет возможность пройти тот путь, который реально был пройден людьми для того, чтобы получить результаты, которые он теперь изучает. Для понимания сути этого метода, ученикам задается такой вопрос: что значит сравнить? Всегда ли можно сравнить предметы или явления? Укажите, что на ваш взгляд не подлежит сравнению.

   Метод эвристического наблюдения предполагает наблюдение как целенаправленное личностное восприятие учениками различных объектов. При этом ребенок учится самостоятельно находить источники знаний, способ их добывания из реального бытия. Результат его деятельности, или образовательный продукт при данной методике включает три основных пункта:

   а) информационный результат наблюдения;

   б) примененный способ наблюдения;

   в) комплекс личных действий и ощущений, сопровождавших наблюдение.

   Степень творчества определяется новизной полученных результатов по сравнению с ранее имевшимися. Основная цель метода - научить детей конструировать знания с помощью наблюдения.

   Метод отличения фактов от нефактов. Осознанное владение учащимися физическими органами чувств требует последовательного развития и дальнейшей познавательной деятельности. Прежде всего, это относится к такому этапу познания, как поиск фактов, отличение их от нефактов.

   Метод эвристического исследования. Заключается в том, что выбирается объект исследования - природный, культурный, научный, словесный, и т.д. - например, растение, картина, часть речи. Ученикам предлагается самостоятельно исследовать этот объект по плану: цели исследования - план работы - факты об объекте - опыты, рисунки опытов, новые факты - возникшие вопросы и проблемы - версии ответов, гипотезы - рефлексивные суждения, осознанные способы деятельности и результаты - выводы.

   Метод конструирования понятий. До подробного знакомства с понятиями у учеников, как правило, уже имеется какое-то представление о них. Данный метод предполагает актуализацию этих представлений, учитель предлагает детям придумать определение понятия на основании уже имеющегося у них представления, а затем помогает им достроить их интуитивные представления до "культурных форм". Как результат такой работы, мы получаем коллективный творческий продукт - определение понятия, сформулированное совместно. Чтобы закрепить его, необходимо зафиксировать это понятие на доске, а также познакомить учеников с альтернативами определения этого понятия, если они существуют.

   Метод конструирования правил аналогичен предыдущему методу. Не обязательно заставлять учеников сначала выучивать понятие, затем - правил, применимых к соответствующему объекту. Можно позволить им сначала самостоятельно "открыть" правила. В некоторых случаях такая деятельность проводится по указанному учителем алгоритму, который зависит от поставленной задачи.

   Метод гипотез. Учащимся предлагается задание сконструировать версии ответов на поставленный учителем вопрос или проблему. Первоначальная задача при этом - выбрать основную для конструирования версию. Учащиеся предлагают исходную позицию или точки зрения на проблему, усваивают разноплановый подход, учатся конструировать гипотезы. Затем - полно и четко формулировать варианты своих ответов на вопросы, опираясь на логику и интуицию.

   Метод прогнозирования отличается от метода гипотез только тем, что применяется к реальному или планируемому процессу.

   Метод ошибок предполагает, что отношение к ошибкам должно измениться. Оно больше не является негативным, наоборот, появляется конструктивное использование ошибок (и псевдоошибок) для углубления образовательных процессов. Если мы обращаем внимание на ошибку, то возможно, цель этого не исправить ее, но выяснить ее происхождение, причины, способы ее получения.

   Метод конструирования теорий. Ученикам предлагается выполнить теоретическое обобщение проделанной ими работы, работа протекает в три этапа:

  1. обнаруженные учениками факты классифицируются по тем фактам, которые заданы учителем. Например, факты о строении объекта, факты о его функциях, процессах и взаимосвязях.
  2. выясняются типы позиций наблюдателей, например, хронологическая, математическая, образная.
  3. формируются вопросы и проблемы, относящиеся к наиболее примечательным фактам.

   II. Креативные методы

  • Метод придумывания - способ создания учениками ранее неизвестного продукта в результате определенных умственных действий.
  • Метод "если бы". Предлагается составить описание или нарисовать картину о том, что произойдет, если в мире что-либо изменится.
  • Метод образной картины воссоздает такое состояние ученика, когда восприятие и понимание изучаемого объекта как бы сливаются, происходит его целостное переработанное видение. В результате получается образная картина объекта.
  • Особенность этого метода заключается в том, что такие уроки проводятся в среднем 2-3 раза в год, при этом оцениваются изменения в сознании учащихся.
  • Метод гиперболизации заключается в изменении объекта сознания, его увеличении или уменьшении, а также изменении его отдельных частей или количества исследуемых объектов.
  • Мозговой штурм. Описание этого метода приводилось выше, в 1-й главе. Заметим только, что он является одним из важнейших методов и постоянно применяется. Он является базой для метода синтетики (основатель Дж. Гордон), основывающегося, в свою очередь, на различного вида аналогиях (словесных, образных, личных), инверсиях, ассоциациях и др. В синтетике широко используются аналогии: прямые, субъективные, символические, фантастические, и т.д.
  • Метод морфологического ящика, или метод многомерных матриц (автор Ф. Цвики) - это нахождение новых неожиданных и оригинальных идей путем составления различных комбинаций известных и неизвестных элементов. Анализ признаков и связей, получаемых из различных комбинаций элементов, применяется как для выявления проблем, так и для поиска новых идей.
  • Метод инверсии (сообщений). Когда стереотипные приемы не приносят результатов, применяется специально противоположная альтернатива решения. Ошибка исследования может заключаться в том, что объект рассматривается с внешней стороны, а решение проблемы происходит при рассмотрении его изнутри.

   III. Оргдеятельностные методы

   Остановимся на перечислении методов этой группы, без подробного их описания. К важнейшим оргдеятельностным методам относятся:

  • методы ученического целеполагания и планирования;
  • методы создания образовательной программы учеников;
  • методы самоорганизации обучения;
  • методы взаимообучения (работа в парах, группах);
  • метод рецензирования;
  • метод рефлексии (рефлексия двух видов: текущая и итоговая);
  • методы самооценки;
  • метод проектов,

и некоторые другие. В нашем эксперименте широко используется метод взаимообучения, т.к. работа с учебными картами обязательно включает групповую, индивидуальную деятельность, а также работу в парах. Кроме того, используются методы рефлексии, цель которого - выявить методологию деятельности, и на ее основе эту деятельность продолжить; метод рецензий, цели и задачи которого уже были упомянуты.

   Мы рассмотрели достаточно большое количество методик, и это обуславливается тем, что практически все они применялись в течение курса, причем сочетаясь между собой. В 3-й главе будет проведено описание курса, и при этом будет делаться акцент на использовании различных приемов и методов.

3. Анализ школьных учебников

   Изучая методическую литературу и различные учебники по математике, можно сделать выводы о присутствии в ней материала, связанного с математической логикой. Проанализируем соответствующие учебники и определим целью этого анализа выявление материала, апеллирующего (явно или неявно) к идеям математической логики. Общий результат этого анализа представлен в таблице.

Степень использования логики

 

 учебник

Даются неявно элементарные сведения из области математической логики

Содержат элементарные сведения из раздела логики, представленные явно

Содержат существенные разделы, посвященные изучению непосредственно логики.

А. П. Киселев. Геометрия

А. В. Погорелов. Геометрия.

Н. Я. Виленкина, Л. Г. Петерсон. "Математика 1".

Л. Г. Петерсон. "Математика 2"

Л. Г. Петерсон, Г. В. Дорофеева. "Математика 5, 6"

Таблица. Степень использования идей математической логики в некоторых школьных учебниках.

   В большинстве учебников по математике, не рассчитанных на изучение логики, она не присутствует явно, но так или иначе, задания содержат некоторые элементы математической логики. В самом деле, если проанализировать задания, взятые, например, из учебников геометрии: А. П. Киселева, А. В. Погорелова, и др., - всюду встречаются такие операции, как анализ, синтез, индукция, дедукция, и т.д.

   Пример 1. Требуется описать всевозможные варианты пересечения двух окружностей или сфер. В результате учащиеся проводят анализ случаев их пересечения, затем для каждого из этих случаев находят вид уравнений этих окружностей.

   Пример 2. Определить, всегда ли два треугольника с соответственно равными стороной и двумя углами равны. Здесь также необходим анализ всевозможных случаев, и учащиеся, проведя его, делают вывод о том, в каком случае треугольники равны, а в каком могут быть не равными, и как при этом расположены их стороны.

   Затем после анализа осуществляется синтез, случаи собираются в одну общую картину, и делается общий вывод по задаче.

   В курсах геометрии затрагивается аксиоматика, а системы аксиом и их построение - раздел, напрямую связанный с логикой. Эта область слишком сложна для изучения, к примеру, в 7-м классе, когда вводятся аксиомы планиметрии, но учащиеся, по крайней мере, получают представление о том, что такое аксиома, как, опираясь на систему аксиом, можно доказывать утверждения, и т.д. Другое важное понятие, с которым приходится сталкиваться при прохождении курсов геометрии самых различных авторов, - это понятие утверждения. И в большинстве случаев возникает серьезная проблема, связанная с неспособностью детей четко выделить в теореме посылку и следствие. В течение курса логики в результате проведенного тестирования выяснилось, что примерно половина учащихся 8-го класса не может выделить посылку и следствие теоремы. Следовательно, не может быть и речи о формулировании модификаций данного утверждения: обратного, противоположного, противоположного обратному.

   И последнее "вхождение" элементов математической логики в курс школьной математики, которое нам хотелось бы упомянуть, это теоретико-множественные операции, довольно часто встречающиеся в курсе алгебры. Решая системы и совокупности уравнений и неравенств, подростки, так или иначе, сталкиваются и с теоретико-множественными операциями, по крайней мере, объединением и пересечением множеств решений уравнений или неравенств, входящих соответственно в совокупности и системы. Но, тем не менее, во многих использующихся сейчас учебниках алгебры и математического анализа данные операции как таковые не вводятся.

   Из всей учебно-методической литературы, используемой в настоящее время, больше всего времени уделяется математической логике в серии учебников Н. Я. Виленкина, Л. Г. Петерсон, Г. В. Дорофеева. При этом с самых первых классов, где логика еще не преподается, учеников подготавливают к ее изучению, развивают мыслительные операции. В учебнике Н. Я. Виленкина и Л. Г. Петерсон для 1-го класса постоянно встречаются задания типа:

  • сгруппируйте предметы по общему признаку;
  • чем похожи и отличаются группы;
  • разбей на части;
  • найди признак разбиения; и др.,

а в учебниках для 2-го класса этой серии (Л. Г. Петерсон, "Математика-2") уже встречается понятие операций, обратных операций, а затем вводятся теоретико-множественные операции. На данном этапе обучения детей знакомят также и с понятие алгоритма. Программа 5-го класса также не предполагает целенаправленного знакомства с логикой, но здесь уже вводится понятие языка математики, дается представление об алфавите и утверждениях, которые можно формулировать с его помощью. И, на конец, в 6-м классе начинается подробное изучение математической логики: знакомство с основными понятиями (высказывание, кванторы, высказывания с переменными, и др.), операциями, которые можно осуществлять над данными объектами. То есть, аппарату математической логики действительно уделяется немало внимания.

   Существуют и специальные школьные учебники по математической логике, но мы сейчас проанализировали только учебники математики, рассчитанные на обязательную часть школьной программы.

Дизайн и Система управляемых сайтов ©   МЦДИ «БИНЕК»